Singing in the rain: giochiamo con un’attività “impulsiva”!

Fig. 1

“I am laughing in the rain”

Singing in the rain! 

Cosa possiamo dire, da un punto di vista fisico, di cosa accade stando sotto la pioggia con un ombrello in mano?

Ecco un po’ di dati utili per analizzare la situazione.

Prima domanda

Supponiamo che ogni secondo circa 100 g di acqua colpiscano il nostro ombrello; le gocce arrivano ad una velocità media di 10 m/s. Se il nostro ombrello ha una massa totale di 1,0 kg, quale forza è necessaria per mantenerlo in posizione verticale sotto la pioggia?

Il primo passo è quello di calcolare il peso dell’ombrello:

Cosa possiamo dire della pioggia che sta cadendo sul nostro ombrello?

Le gocce di acqua hanno una quantità di moto iniziale dipendente da massa e velocità; quando raggiungono l’ombrello la loro quantità di moto si annulla e, ricordando la definizione di quantità di moto, possiamo scrivere che

relazione in cui è stato considerato solo il modulo della variazione della grandezza vettoriale

Per il teorema dell’impulso, in modulo, possiamo scrivere le seguenti relazioni

Utilizzando i dati indicati prima il modulo della forza F impulsiva che colpisce il nostro ombrello ha il valore di 1,0 N.

Aggiungiamo questa forza alla forza che dobbiamo esercitare per sostenere il peso dell’ombrello e troviamo che per stare sotto la pioggia con l’ombrello in verticale esercitiamo una forza approssimativamente di 10,8 N.

Seconda domanda

Proseguiamo a giocare ancora un po’ con l’acqua!

La nebbia è formata da goccioline di acqua il cui diametro è circa 2 millesimi di millimetro. 

Supponiamo di avere i 100 g di acqua dell’esempio precedente: sai quante molecole di acqua sono contenute all’interno di questa quantità?

Per calcolare il numero richiamiamo alcuni concetti:

1 mole di acqua contiene 6,022 × 10 ²³ molecole/mol e la massa di una mole di acqua è circa 18 g/mol.

Quindi 100 g di acqua corrispondono ad un numero di moli n

Se ogni mole contiene un numero di Avogadro di molecole, allora il numero totale di molecole in 5,6 moli sarà

A questo punto chiediamoci: se una gocciolina di nebbia ha un diametro di 2 millesimi di millimetro, qual è il numero di molecole d’acqua contenuto in essa?

DATI

diametro = 2×10^-6 m

raggio = 1×10^-6 m

massa acqua = 100 g = 0,1 kg

N (molecole in 100 g) = 3,4 ×10²⁴

STRATEGIA

Determiniamo la massa di una gocciolina di nebbia, dopo aver calcolato il suo volume e conoscendo la densità dell’acqua. Impostiamo una semplice proporzione per ricavare il numero di molecole contenute in una goccia.

massa goccia = densità acqua ∙ volume goccia

Impostiamo la proporzione e risolviamola

Abbiamo stimato l’ordine di grandezza del numero di molecole contenute in una gocciolina di nebbia.

Terza domanda

Torniamo alla nostra pioggia.

Siamo a Roma, durante un temporale cade 1 cm di pioggia, coprendo un’area di circa 10⁸ m².

Sai stimare il numero di gocce di pioggia caduto durante il temporale?

Calcoliamo l’ordine di grandezza del volume di acqua caduta:

L’ordine di grandezza del volume di una goccia di pioggia si calcola come volume di una sfera di diametro circa 4 mm.

Dividiamo i due volumi per ricavare il numero delle gocce cadute nel corso del temporale.

Chiediamoci il senso di questo numero così grande: l’ordine di grandezza degli abitanti della Terra è circa 10¹⁰ persone, quindi il numero di gocce cadute in un temporale di modestissima intensità è 10 000 volte maggiore del numero di abitanti del nostro pianeta!

Quarta domanda

Concludiamo questa carrellata di quesiti sulla pioggia calcolando la velocità limite di una goccia.

L’idea chiave è nella definizione di velocità limite ovvero la velocità di caduta raggiunta quando la forza di gravità è bilanciata dalla resistenza aerodinamica che agisce sulla goccia.

Dallo studio del moto di un corpo in un fluido, sappiamo che la forza frenante è

C è il coefficiente aerodinamico, A l’area efficace della sezione trasversale (la maggiore area perpendicolare alla velocità di caduta), v _l   è la velocità limite (detta anche velocità di regime).

Consideriamo una singola goccia:

la forza di gravità può essere calcolata con la seguente relazione:

Se non c’è accelerazione nella caduta 

Con una formula inversa

Dalle tabelle sui coefficienti aerodinamici si ipotizza che C valga 0,60, per una goccia con un diametro di 1,5 mm; se la densità dell’aria è di 1,2 kg/m ³ allora la velocità limite sarà di

Utile osservare che, in mancanza di attrito, considerando una caduta di circa 1200 m la velocità di impatto al suolo sarebbe data dalla formula

velocità superiore a quella di un proiettile sparato da una pistola Beretta 98 FS!