Auto in curva. Non è bello uscire per la tangente!

Fig. 1

Quando viaggiamo in automobile e percorriamo una curva tutti noi abbiamo l’impressione che ci sia una forza in grado di spingerci verso l’esterno; questa forza sembra così reale che le abbiamo dato anche un nome, quello di forza centrifuga.

In realtà, la forza centrifuga è soltanto una delle forze apparenti che incontriamo nella vita quotidiana se analizziamo un moto dall’interno di un sistema di riferimento non inerziale, quindi accelerato.

Come esempio, se un autobus accelera di colpo o frena improvvisamente, avvertiamo una «forza» che ci spinge all’indietro (nel primo caso) o in avanti (nel secondo caso); in realtà, nessuno ci spinge o tira.

La forza apparente dipende dal fatto che, mentre l’autobus accelera o frena, per il principio di inerzia il nostro corpo tende a mantenere la velocità che aveva prima e, quindi, rimane indietro se l’autobus accelera o va in avanti se esso diminuisce la propria velocità. 

Analogamente se un’auto affronta una curva è soggetta ad una accelerazione centripeta; il sistema di riferimento dell’auto non è inerziale ed in esso avvertiamo delle forze apparenti.

Consideriamo un oggetto appoggiato sul pianale posteriore dell’auto.

Durante una brusca curva a destra, si ha l’impressione che la forza centrifuga spinga l’oggetto verso sinistra, cioè verso l’esterno della curva.

Ma se si osservasse la situazione nel sistema di riferimento inerziale della Terra, si vedrebbe che l’oggetto continua a muoversi in linea retta, almeno finché non giunge al bordo sinistro del pianale.

Fig. 2

Auto in curva osservata dal sistema inerziale della Terra

In conclusione tutte queste situazioni si spiegano con il primo principio della dinamica: sia nel caso dell’autobus in frenata, sia in quello dell’auto in curva gli oggetti non vincolati all’interno dei mezzi di trasporto tendono a muoversi con la stessa velocità vettoriale che avevano prima che il sistema di riferimento, in cui sono inseriti, fosse accelerato.

Il fatto che, a seconda del sistema di riferimento scelto, le osservazioni sul moto cambino non deve stupire troppo; la forma della traiettoria, la velocità dei corpi dipendono proprio dalla collocazione dell’osservatore O, la cui scelta è fatta per ragioni di convenienza o di semplicità di descrizione del movimento stesso.

Sappiamo che le leggi della meccanica classica valgono solo nei sistemi di riferimento inerziali e che quando si ha a che fare con sistemi di riferimento non inerziali le leggi possono essere ancora valide a patto di postulare l’esistenza di forze fittizie, o apparenti, che servono per la descrizione del movimento.

Se ci mettiamo, infatti, nel sistema non inerziale, ad esempio all’interno dell’auto in curva, la forza fittizia che si assume il ruolo di mantenere “fermo” il veicolo, cioè di mantenerlo sulla traiettoria circolare, è la cosiddetta forza centrifuga, orientata verso l’esterno della curva, e in equilibrio con la forza centripeta. 

La forza centripeta, che “tira” verso l’interno della curva, è dovuta all’attrito delle ruote sul fondo stradale. Se la velocità è troppo elevata o peggiorano le condizioni del manto stradale per pioggia, ghiaccio, macchie di olio, le forze di attrito si riducono, il veicolo tende ad allontanarsi dal centro della circonferenza che approssima l’andamento della curva. L’automobile esce, così, dalla curva per la tangente, con tutte le relative possibili e disastrose conseguenze.

Un po’ di calcoli

Proviamo ad usare le leggi fisiche del moto circolare uniforme. Per comprendere la situazione conviene posizionarsi all’interno dell’auto che affronta la curva, quindi nel sistema di riferimento non inerziale.

Fig. 3

Auto che percorre la curva; sistema di riferimento solidale con l’auto

La forza di attrito, fra asfalto e ruote, è di tipo statico e non dinamico perché il moto in direzione laterale deve essere nullo.

Scriviamo le equazioni lungo i due assi di riferimento:

ASSE Z: AUTO IN QUIETE

ASSE X: AUTO che non si muove lateralmente

Affinché l’auto non slitti lateralmente sappiamo che deve valere questa disuguaglianza:

Dall’ultima relazione si ricava che

Con semplici calcoli algebrici si ricava che:

Il valore calcolato corrisponde al massimo valore di velocità dell’auto perché questa non esca di strada.

Se superassimo questo valore la forza di attrito non sarebbe più in grado di equilibrare la forza centrifuga.

Dobbiamo ricordare che se per qualsiasi motivo (pioggia, ghiaccio, macchie d’olio, usura degli pneumatici) l’aderenza dovesse peggiorare, diminuendo μ_s, allora diminuirebbe anche il valore massimo della velocità utile a mantenere l’assetto in curva.

Anche la curvatura della strada influenza il valore della velocità: più il raggio di curvatura è piccolo, minore sarà il valore massimo di velocità consentita.

Un modo per aumentare la velocità in curva è quello di utilizzare le curve paraboliche. Osserviamo l’auto dal sistema di riferimento inerziale della Terra, mentre affronta la curva sopraelevata.

Fig. 4

Consideriamo una situazione in cui è presente attrito e calcoliamo la massima e la minima velocità con cui il corpo può affrontare la curva senza uscire di strada.

Le forze che agiscono sul corpo sono:

• la forza normale N scomposta in N_x e N_y;
• la forza peso F_P
• la forza di attrito diretta parallelamente alla superficie di appoggio e scomposta in F_ax e F_ay.

A questo punto applichiamo la legge fondamentale della dinamica per le due direzioni

Dato che il corpo si muove su una curva di raggio R e orizzontalmente, si deduce che:

Le leggi della dinamica possono essere scritte in questo modo.

ASSE X

ASSE Y

Arrivati a questo punto possiamo inserire le componenti di N e di F_a nelle equazioni appena scritte:

e per quanto riguarda l’asse x:

Ricordando l’espressione della forza di attrito:

ASSE X

ASSE Y

Risolviamo il sistema in due equazioni e due incognite allo scopo di ricavare i valori della velocità.

Dividendo le due equazioni membro a membro si ottiene:

Con opportune semplificazioni è possibile ricavare il massimo valore della velocità, in presenza di forze di attrito.

Da notare che solo la soluzione positiva della radice quadrata ha un significato fisico.

Possiamo, ora, analizzare il caso in cui NON siano presenti attriti.

Fig. 5

In questo caso:

La forza centripeta coincide con la componente N_x

Dividendo le due uguaglianze membro a membro si ottiene:

da cui si ottiene

Questa formula, ricavata in assenza di attrito, risulta un caso particolare della formula più generale ottenuta con un moto su curva parabolica in presenza di attriti. Basta, infatti, porre che 𝛍_s sia nullo e le due formule coincidono.

In conclusione…

È utile progettare curve paraboliche o anche dette bilanciate?

La risposta è sì, se lo scopo è di ottenere velocità alte, come nei circuiti sportivi.

Confrontando le due leggi in presenza di attrito:

CURVA IN PIANO

CURVA BILANCIATA

si può facilmente verificare che la frazione sotto radice che moltiplica Rg ha un valore superiore a 𝛍_s e quindi, a parità di caratteristiche del manto stradale e uguale raggio della traiettoria circolare, la velocità massima consentita, senza sbandare è maggiore in presenza di una curva parabolica.

Ragionando sul valore del raggio minimo di curvatura in relazione alla velocità, ricordiamo che in caso di curva piana vale la seguente relazione:

Nel caso reale la strada deve necessariamente avere una pendenza trasversale, variabile dal 2,5% al 7% perché ciò si ripercuota in un beneficio sulla stabilità del veicolo in curva; infatti la pendenza aumenta il coefficiente di aderenza trasversale:

Nel diagramma sottostante sono mostrati i raggi di curvatura minimi, su asfalto asciutto e in buone condizioni, in funzione della velocità: se il guidatore stringe la curva quando è sulla traiettoria limite, l’auto perde aderenza e sbanda.

Fig. 6