Una fantascientifica Torre di Babele

Fig. 1

La torre di Babele è un mito di origine biblica narrato in un episodio della Genesi:

«Tutta la terra aveva una sola lingua e le stesse parole. Emigrando dall’oriente gli uomini capitarono in una pianura nel paese di Sennaar e vi si stabilirono. Si dissero l’un l’altro: “Venite, facciamoci mattoni e cociamoli al fuoco”. Il mattone servì loro da pietra e il bitume da cemento. Poi dissero: “Venite, costruiamoci una città e una torre, la cui cima tocchi il cielo e facciamoci un nome, per non disperderci su tutta la terra”. Ma il Signore scese a vedere la città e la torre che gli uomini stavano costruendo. Il Signore disse: “Ecco, essi sono un solo popolo e hanno tutti una lingua sola; questo è l’inizio della loro opera e ora quanto avranno in progetto di fare non sarà loro impossibile. Scendiamo dunque e confondiamo la loro lingua, perché non comprendano più l’uno la lingua dell’altro”. Il Signore li disperse di là su tutta la terra ed essi cessarono di costruire la città. Per questo la si chiamò Babele, perché là il Signore confuse la lingua di tutta la terra e di là il Signore li disperse su tutta la terra.»

(Gen. 11, 1-9)

Una delle interpretazioni di tale mito mette in evidenza come la prepotenza e la presunzione con cui l’uomo sfida la Natura siano state punite da Dio che avrebbe posto fine all’intenzione di “sfiorare il cielo” semplicemente confondendo le loro lingue.

Per nostra fortuna l’essere umano non ferma la sua corsa verso la conoscenza ed è in grado di affrontare, ogni giorno, nuove sfide; è possibile, infatti, che la Scienza delle Costruzioni stia fornendo gli strumenti adatti per realizzare la Nostra Torre di Babele!

Un salto nel passato!

Tra le pagine di un vecchio Tuttoscienze del 2 marzo 2011 comparve un articolo di Nicola Pugno, Docente Ordinario di Scienza delle Costruzioni presso l’Università di Trento, in cui si descriveva un elevatore spaziale, una sorta di ascensore verso il cielo!

Prima di accennare alle caratteristiche tecniche dei materiali da impiegare, analizziamo il problema da un punto di vista fisico.

È possibile realizzare una “torre” talmente alta che non pesi nulla? Calma…facciamo un po’ di ordine!

Che cos’è il peso?

Il peso è la forza gravitazionale con cui un oggetto è attratto verso il centro della Terra.

m = massa oggetto

M_T= massa della Terra

R_T = raggio della Terra

con

Se il corpo si trova ad una distanza h dalla superficie terrestre la distanza tra m e il centro della Terra aumenta, diventando r = R_T +h; l’accelerazione gravitazionale g sarà minore di g₀.

Che l’accelerazione di gravità diminuisca allontanandosi dal centro del pianeta non è una novità, ma esiste anche un altro fattore che incide sul valore di g: la rotazione terrestre.

Il nostro pianeta ha un moto di rotazione su se stesso della durata di 24 h con una accelerazione angolare 𝜔

Un corpo di massa m sulla superficie terrestre sarà soggetto sia alla forza di attrazione gravitazionale, sia ad una forza centrifuga F_C percepita dall’osservatore terrestre che si trova in un sistema di riferimento NON INERZIALE, perché accelerato.

La forza centrifuga F_C ha lo stesso modulo della forza centripeta, ma ha verso opposto ed è orientata verso l’esterno.

La forza peso registrata dalla bilancia, detta anche forza peso effettiva F_Pe, è data dalla relazione:

Conclusioni

L’accelerazione gravitazionale sulla superficie terrestre è leggermente inferiore a quella che si avrebbe se la Terra non ruotasse.

con uno scarto percentuale rispetto al valore di riferimento g

Bene, pesiamo meno perché viviamo su una giostra che gira!

A quale altezza dalla superficie il nostro peso si annullerebbe?

Se la forza di attrazione gravitazionale fosse esattamente uguale alla forza centrifuga il valore della forza peso effettiva F_Pe si annullerebbe con questa condizione:

Ricordiamo che

Considerando una massa di 1 kg, posta a distanza h metri di altezza, possiamo scrivere

Con semplici passaggi algebrici si ottiene:

Ricaviamo il rapporto h/R_T:

a cui corrisponde il valore di

Il valore di h corrisponde alla quota di un’orbita geostazionaria, quindi un oggetto a quell’altezza è privo di peso rispetto al riferimento terrestre!

E la nostra  “torre” di altezza “infinita?

Supponiamo di immaginare un cavo ancorato alla Terra, che si estenda nello spazio e su cui viaggi un ascensore, con funzione di elevatore spaziale per portare in orbita astronauti e materiali vari.

Esistono diverse varianti di ascensore spaziale, tutte accomunate dal fatto che, a differenza di un ascensore tradizionale, non è il cavo che traina la cabina, ma è quest’ultima a muoversi lungo il cavo che fa da guida e sostegno.

Mentre in un classico ascensore il contrappeso svolge la funzione di equilibrare il carico della cabina muovendosi nel verso opposto a quest’ultima, nell’ascensore spaziale esso ha la funzione di tenere il cavo guida teso. Per questa ragione il contrappeso dovrebbe trovarsi all’estremità superiore del cavo, ben oltre l’altitudine dell’orbita geostazionaria, in modo tale che la forza centrifuga superi quella di gravità.

Inoltre il cavo in partenza dalla Terra dovrebbe essere ancorato in prossimità dell’Equatore, al fine di assicurare al contrappeso la massima forza centrifuga possibile per tenere il cavo guida in tensione.

Ecco uno schema della “torre” con ascensore, attenzione che il disegno NON è in scala.

Fig. 2

Quanto deve essere lungo il cavo, perché rimanga in tensione anche senza l’uso di un contrappeso?

Qui le cose si fanno impegnative…iniziamo a supporre che la sezione del cavo si mantenga costante.

Innanzitutto il problema principale del cavo che sostiene il moto dell’ascensore è che deve essere super-resistente e al contempo molto leggero.

Indichiamo con 𝜆 la densità lineare del cavo e calcoliamo la massa di un tratto di cavo di lunghezza dh ad una generica altezza da Terra.

Per calcolare il peso totale della struttura occorre integrare dp tra 0 e H (lunghezza totale del cavo).

Armandosi di un po’ di pazienza si risolvono i due integrali:

PRIMO INTEGRALE

SECONDO INTEGRALE

Ricapitolando

e con la forza peso nulla si ottiene:

Qualche passaggio algebrico…

Troviamo un’equazione di secondo grado in H

Risolvendola e accettando solo la soluzione positiva si ottiene:

Cosa significa questo risultato?

Significa che il cavo deve essere lungo quasi 23 volte la lunghezza del raggio terrestre per mantenersi teso, senza l’uso di alcun contrappeso nella sua parte terminale.

E questo valore corrisponde ad un ordine di grandezza di 10⁵ km!

Quali materiali?

Nel caso dell’elevatore spaziale il ruolo del materiale è supercritico, infatti un cavo di acciaio, per esempio, dovrebbe sopportare una tensione massima, in corrispondenza dell’orbita stazionaria, circa 400 volte maggiore della sua resistenza, fatto evidentemente impossibile.

Sono stati ipotizzati anche altri materiali come il kevlar, una fibra sintetica resistente al calore, creata interamente dall’uomo in laboratorio e con un carico di rottura simile alla fibra di carbonio, e i nanotubi di carbonio.

I nanotubi del carbonio, scoperti nel 1985, sono strutture ordinate di grafene,

Fig. 3

con forma cilindrica, le cui pareti sono monodimensionali, ossia costituite da un singolo strato di strutture esagonali di atomi di carbonio legati fra loro.

Si tratta di una struttura molto semplice e resistente alla trazione, che avrebbe le caratteristiche giuste per realizzare l’idea dell’ascensore spaziale.

I nanotubi di carbonio possono offrire una resistenza fino a 100 gigapascal; per avere un’idea di ciò che significa in termini di resistenza alla trazione, si pensi che un filo di nanotubi dello spessore di un capello sarebbe in grado di sostenere un’automobile!

Ma, pensando alla nostra “torre” verso il cielo, all’orizzonte compare un problema non da poco.

Più la struttura di nanotubi cresce e più si formano dei difetti e basta un singolo atomo fuori posto per far passare la resistenza alla trazione del materiale da 100 GPa a 40 GPa.

Le strutture, infatti, tendono a diventare più fragili con l’aumentare della dimensione e ciò fa aumentare la probabilità di presentare difetti macroscopici.

Basterebbe un solo atomo fuori posto lungo il cavo e l’ascensore non avrebbe più il suo sostegno!

Sarà importante la forma?

Visto che il cavo dovrebbe sopportare tensioni diverse a seconda della quota considerata, i tecnici hanno suggerito l’ipotesi di un cavo con sezione variabile, più grande dove la forza da sopportare è maggiore, più piccola dove è minore.

Il prof. Nicola Pugno, nel suo articolo, parla di progetto “ad uniforme resistenza”, ovvero un cavo non a sezione costante, con tensione variabile, ma un cavo a sezione variabile, tale che la tensione all’interno rimanga costante e si avvicini alla resistenza del materiale per poterne sfruttare al meglio le proprietà meccaniche.

La geometria che risulta è una specie di «botte», con la sezione massima in corrispondenza dell’orbita geostazionaria.

La sezione minima si collocherà in prossimità della superficie terrestre (ricordate…peso NULLO).

Giocando sul rapporto tra la sezione massima e minima, è in teoria possibile progettare il cavo con qualsiasi materiale.

Nella realtà, però, non è così: se si considera l’acciaio, questo rapporto dovrebbe essere enorme, nell’ordine di 1 × 10³³; significa che se alla partenza sulla Terra il diametro del cavo fosse anche solo di 1 𝛍m non basterebbero le dimensioni dell’Universo conosciuto per contenere il cavo stesso!

Diverso il discorso per i nanotubi di carbonio; in questo caso il rapporto fra le sezioni diventa pari a 2, valore decisamente favorevole alle applicazioni.

La sfida nell’utilizzo dei nanotubi di carbonio rimane quella di estendere a dimensioni macroscopiche la produzione di tale materiale che è perfetto ancora solo su scala microscopica. Dal 2014, la tecnologia dei nanotubi di carbonio è riuscita a produrre tubi con dimensioni fino a pochi decimi di metro.

Nella stesso anno  sono stati sintetizzati, per la prima volta, i nanofili di diamante che hanno proprietà di resistenza simili ai nanotubi di carbonio e quindi potrebbero essere visti come materiale adatto alla costruzione del cavo.

Le sfide scientifiche da risolvere proseguono; gli studi teorici e la sintesi di nuovi materiali super-resistenti consentiranno in un futuro prossimo di costruire la mitica Torre di Babele?

Fig. 4

La risposta è sì, la sfida appare fattibile, il progetto sul materiale e sulla struttura del cavo sta facendo passi in avanti, grazie alla Scienza delle Costruzioni. La strada sarà ancora lunga, ma i molti vantaggi scientifici incoraggiano la ricerca.

L’ascensore spaziale potrebbe diventare un rivoluzionario sistema di trasporto Terra – Spazio, in grado di abbattere i costi che gravano sul lancio di razzi convenzionali.

L’esplorazione del nostro Universo diventerebbe, così, più economica e si aprirebbero nuovi orizzonti, nuove frontiere per la conoscenza.

E forse la fantascienza diventerà presto realtà!