Viaggio infinito al centro della Terra

Fig. 1

Illustrazione dal racconto “Viaggio al centro della Terra” di Jules Verne. Disegno di Edouard Riou.

Ogni bambino che si è trovato in spiaggia a fare una buca nella sabbia ha, per un attimo, fantasticato sulla possibilità di scavare una galleria che lo facesse spuntare dall’altra parte del globo terrestre dove vivono le persone che stanno a testa in giù!

La fantasia è una bella cosa, ma la realtà non è meno affascinante!

Diciamo subito che un’impresa simile non è possibile, tra noi e l’altra parte ci sono oltre 12 742 km di roccia solida e magma fuso, le temperature verso il centro della Terra superano i 6000 °C, le pressioni sono estreme oltre i 600 GPa, quando la pressione atmosferica sulla superficie è circa 10⁵ Pa.

Insomma, anche con la migliore delle attuali tecnologie un lavoro del genere non è ipotizzabile e resterà, forse per sempre, una missione fantascientifica, argomento per la creatività degli scrittori.

Mantenendo uno sguardo scientifico sulla realtà chiediamoci fin dove l’uomo sia riuscito a spingersi nel viaggio dentro le viscere della Terra.

Attualmente il pozzo più profondo scavato in verticale dall’uomo si trova in Siberia e arriva a poco più di 12 km di profondità. Altro che gli oltre 12000 km per attraversare la Terra!

Il sito dello scavo fu scelto nella penisola di Kola e si è trattato di un progetto di perforazione della crosta terrestre a scopo scientifico per studiare la geochimica e la geofisica dello strato di crosta sottostante. Le operazioni di perforazione iniziarono il 24 maggio 1970 e furono interrotte, causa difficoltà non previste, nel 1992.

Il sito fu abbandonato definitivamente nel 2005.

Possiamo vedere le immagini del sito del pozzo nel 2007, prima che la struttura soprastante collassasse, e ciò che resta dello scavo, un coperchio che sigilla il tunnel che ha un diametro di soli 23 cm.

Fig. 2

Fig. 3

Se la realtà delude perché non lavorare con l’immaginazione?

Nulla ci vieta di fare un esperimento mentale, ipotetico ma rigoroso, perché le leggi della fisica sono sufficienti a descrivere tutto ciò che potrebbe accadere nel corso di questo fantastico viaggio verso il centro della Terra.

Cosa accadrebbe se mi gettassi in un ipotetico tunnel che attraversa la Terra passando per il suo centro?

Premesso che accetto la sfida solo perché immaginaria, analizziamo le condizioni del nostro modello di lavoro:

la Terra è perfettamente sferica;

la densità terrestre è costante;

la materia è fredda e tutta allo stato solido;

il nostro pianeta non ruota su se stesso;

trascuriamo attriti e frizioni.

Certo abbiamo posto una serie infinita di condizioni irrealizzabili, ma è l’unica possibilità di arrivare ad una conclusione teorica plausibile!

Molto probabilmente tra le condizioni elencate ce n’è una che può lasciare perplessi: perché la Terra non deve ruotare?

Immagina la scena:

supponi che mi appresti a cadere nel tunnel, saltare in verticale direttamente nel buco è più difficile di quanto sembri, paura a parte.

Dopo circa un chilometro e mezzo di caduta, urterei violentemente contro la parete del buco rischiando così di non arrivare mai dall’altra parte.

Perché se il mio lancio è stato perfettamente verticale?

Per colpa dell’effetto di Coriolis: in Fisica, la forza di Coriolis è una forza apparente, a cui è soggetto ogni corpo il cui moto si osservi da un sistema di riferimento che sia in rotazione rispetto ad un altro inerziale.

Poiché la Terra ruota da ovest verso est, se il mio lancio parte ad esempio dal Polo Nord verso l’Equatore, nel corso della caduta finirò per essere “in ritardo” sulla rotazione terrestre e dunque il mio moto acquisterà una componente laterale verso ovest, che mi farà sbattere contro una parete del tunnel. Quindi… via la rotazione!

Bene ora che la Terra non ruota più possiamo iniziare il nostro avventuroso viaggio verso il suo centro.

PRIMO STEP:

Come determinare il campo gravitazionale all’interno di una sfera piena.

Suddividiamo la sfera in due parti: una sfera concentrica di raggio r, con r < R, e la zona sferica compresa fra i raggi r e R.

Fig. 4

Supponiamo di considerare una massa m posta nel punto P, il guscio uniforme di materia, colorato in celeste, NON esercita forze gravitazionali nette al suo interno, ma la forza F è legata alla massa interna alla porzione di sfera con raggio r.

Tale conclusione è nota come Teorema del guscio sferico di Newton che afferma:

“Un guscio sferico omogeneo di materia NON esercita alcuna forza gravitazionale su una particella localizzata al suo interno”. 

Attenzione a capire bene questa affermazione, è la SOMMA dei vettori forza, relativi a tutti gli elementi del guscio, che risulta uguale a zero.

Nel nostro modello abbiamo fatto l’ipotesi che la densità della Terra sia costante; possiamo scrivere che

Calcoliamo la M_int

La forza gravitazionale sulla massa m posta in P è data dalla relazione

Dunque, all’interno della massa M_T il campo gravitazionale è direttamente proporzionale alla distanza dal centro.

All’esterno di M_T, invece, la forza F(r) decresce come l’inverso del quadrato della distanza.

L’andamento della forza è rappresentato con un grafico continuo che raggiunge il valore massimo sulla superficie della massa M_T, nel nostro caso la superficie terrestre.

Fig. 5

Se fosse possibile scendere davvero verso il centro della Terra, il nostro peso andrebbe a diminuire linearmente fino a zero.

Un uomo a 6370 km di distanza dal centro della Terra con una massa di 70 kg sulla superficie terrestre pesa circa 687 N, a 2000 km di profondità, ovvero ad una distanza dal centro della Terra di 4370 km, peserebbe:

L’esploratore nel centro della Terra si troverebbe a pesare esattamente zero newton!

Il grafico soprastante in pratica rappresenta il peso di un corpo che, partendo dal centro della Terra, sale progressivamente verso l’alto fino all’infinito. Il peso di un corpo dunque è nullo solo al centro della Terra e all’infinito.

Dopo queste considerazioni torniamo al nostro pozzo.

Fig. 6

Quanto tempo impiego nel mio ruolo di esploratore a percorrere la lunghezza di questo pozzo?

L’accelerazione gravitazionale iniziale risulta

Tenendo conto di tutte le condizioni che caratterizzano il nostro modello, possiamo scrivere

In generale, indicando con p la profondità a cui si scende, la forza gravitazionale e la corrispondente accelerazione diventano

Sostituendo nell’ultima relazione il valore del raggio terrestre, si ottiene

SECONDO STEP: 

A questo punto possiamo scrivere vettorialmente F(r) e g(r), ricordando che siamo all’interno della Terra, per mettere in evidenza che sia la forza, sia l’accelerazione gravitazionale dipendono dal vettore posizione r disposto lungo un asse di riferimento con origine nel centro della Terra e verso positivo orientato al Polo Nord.

Ma questa legge è la legge di Hooke! Quella della molla!

Cosa significa per il nostro esploratore?

Se la forza gravitazionale e il vettore posizione hanno versi opposti, significa che, nelle condizioni ideali descritte, il temerario esploratore è destinato ad oscillare “in eterno” tra un polo e l’altro.

Analizziamo la storia di questo “pendolo umano”.

TERZO STEP:

Siamo quasi al termine; possiamo studiare il moto armonico del viaggiatore.

Per un oscillatore armonico (sistema massa + molla) la pulsazione del moto risulta

e il periodo di oscillazione

Tornando al nostro caso, la costante k in modulo deve essere espressa in funzione del raggio terrestre ecc.

Sostituendo il valore del raggio medio terrestre:

si ottiene un periodo T

A questo punto possiamo rispondere alla domanda:

Quanto tempo impiega l’esploratore a percorrere il pozzo dal Polo Nord al Polo Sud?

Il tempo è di circa 42 minuti, nel corso del quale il viaggiatore è soggetto ad una accelerazione che si annulla in corrispondenza del centro della Terra. Coerentemente con il modello di moto armonico la velocità è

A metà della lunghezza del pozzo viene raggiunto il valore massimo della velocità, che possiamo calcolare:

Il valore nullo della velocità si ha agli estremi del pozzo, partenza dal Polo Nord e arrivo al Polo Sud.

CONCLUSIONE

Il nostro viaggiatore, superato il centro della Terra, sarà soggetto a forze di verso opposto rispetto alla prima parte del viaggio; l’attrazione esercitata dalla massa che si è lasciato alle spalle aumenta progressivamente e perciò di pari passo aumenta anche il peso del viaggiatore.

Il moto, superato il centro della Terra, rallenta fino a quando, sbucato dal tunnel agli antipodi rispetto al punto di partenza, il viaggiatore si “ferma”; ma se in quell’istante esatto nessuno lo “cattura” con una rete, con una corda, verrà nuovamente risucchiato nel pozzo dalla forza di gravità, ricominciando il suo infinito viaggio.

Certo se nel tunnel ci fosse aria, agirebbe l’attrito che ridurrebbe via via l’ampiezza delle oscillazioni, facendo fermare l’esploratore al centro della Terra.

Detto sinceramente meno male che si tratta di un esperimento mentale, in caso contrario non saprei dire quale potrebbe essere la prospettiva migliore per il temerario esploratore.

Io di sicuro non mi offro come volontaria!